Длина дуги сегмента круга по хорде и высоте

Вычислить, найти длину дуги по формуле Гюйгенса (1)

l (хорда дуги AM)

L (хорда дуги AB)

Рассчитать, нажмите кнопку, чтобы рассчитать

Длина дуги, формула Гюйгенса

стр. 294

Далее  →

Случайная статья

Длина дуги через радиус и угол

Для определения длины дуги можно использовать формулу:

$l = π cdot R cdot frac{α}{180°}$, где

$R$ — радиус окружности;

$α$ — угол, характеризующий дугу;

$π$ — константа.

Рассмотрим пример использования этой формулы.

Пример 1

Задача

Угол, ограничивающий дугу, равен $50°$, а радиус окружности равен $9$ см. Вычислите длину дуги.

Решение:

$l = 3,14 cdot 9 cdot frac{50}{180} = 7,85$ см.

Проверьте длину дуги окружности с помощью онлайн-калькулятора. Результат тот же, значит ответ правильный.

Новая услуга кампуса! Мы решим вашу проблему с обучением всего за 30 минут. Попробуйте сейчас

Формулы сегмента круга

Для расчета всех основных параметров сегмента окружности воспользуйтесь калькулятором.

Формулы высоты сегмента круга

• Высота сегмента окружности в виде радиуса и угла α

  $$ h = R * (1 — cos({α over 2}))

  $

• Высота сегмента окружности через хорду (AB) и центральный угол α

  $$ h = {1 более 2} * AB * tg({α более 4})

  $

• Высота сегмента окружности через хорду (AB) и радиус

  $$ h = R — sqrt{R^2 — {L^2 более 4}}

  $

Формула площади сегмента круга

$$ S = {R^2 более 2} * (pi * {α более 180} — sin(α))

$

Формула длины хорды сегмента круга

$$ AB = 2 * R * sin({α over 2})

$

Формула длины дуги сегмента круга

$$ L = α * R

$

Где:	α — угол в радианах

Свойства

Зная длину хорды и высоту отрезка окружности, необходимо одновременно использовать обе формулы для вычисления всех остальных параметров, и через них выразить радиус окружности c=2r sin⁡〖 α/2〗 h=r(1-cos⁡〖α/2〗) r=h/2+c^2/8h

Угол сегмента окружности может быть выражен с помощью любой из приведенных выше формул для хорды и высоты сегмента. В терминах хорды синус половины угла будет равен длине, деленной на два радиуса sin⁡〖α/2〗=c/2r

Длина дуги и площадь сегмента окружности вычисляются по стандартным формулам, куда необходимо подставить полученное выражение для радиуса. P=αr=α(h/2+c^2/8h) S=r^2 (α/2-sin⁡α)=1/2 (h/2+c^2/8h)^2 (α- грех⁡α)

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и окружность сегмента круга. Описано несколько вариантов расчета параметров сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой отрезок — часть окружности, ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
в — хорда
R — радиус
а — угол сегмента
ч — высота

Первый калькулятор вычисляет параметры сегмента, если известны радиус и угол, по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
один
Длина дуги:

Сегмент

Но, как справедливо заметил наш пользователь: «на практике часто бывает, что и радиус дуги, и угол неизвестны» (см длину дуги). В этом случае для вычисления площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:

Параметры сегмента по хорде и высоте

Калькулятор вычисляет радиус окружности по длине хорды и высоте отрезка по следующей формуле:

Кроме того, зная радиус и длину хорды, легко найти угол отрезка по формуле:

Читайте также: Если оставить морковь на зиму в земле

Остальные параметры сегмента рассчитываются так же, как и первый калькулятор, по формулам, приведенным в начале статьи.

Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и окружность сегмента круга. Описано несколько вариантов расчета параметров сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой отрезок — часть окружности, ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
в — хорда
R — радиус
а — угол сегмента
ч — высота

Первый калькулятор вычисляет параметры сегмента, если известны радиус и угол, по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
один
Длина дуги:

Сегмент

Но, как справедливо заметил наш пользователь: «на практике часто бывает, что и радиус дуги, и угол неизвестны» (см длину дуги). В этом случае для вычисления площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:

Параметры сегмента по хорде и высоте

Калькулятор вычисляет радиус окружности по длине хорды и высоте отрезка по следующей формуле:

Кроме того, зная радиус и длину хорды, легко найти угол отрезка по формуле:

Остальные параметры сегмента рассчитываются так же, как и первый калькулятор, по формулам, приведенным в начале статьи.

Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:

Понравилась статья? Поделись с друзьями!

530

Первый метод определения радиуса дуги или сегмента круга

В основном это выглядит так:

Рис. 463.1 а) существующая арка, б) определение длины хорды и высоты сегмента.

Таким образом, при наличии дуги мы можем соединить концы и получить хорду длины L. В середине хорды можно провести линию, перпендикулярную хорде, и таким образом получить высоту отрезка H. Теперь мы знаем, что длины хорды и высоты на отрезке, можно сначала определить центральный угол α, т е угол между радиусами, проведенными от начала и конца отрезка (на рис. 463.1 не показаны), а затем радиус круг.

Решение такой задачи было достаточно подробно рассмотрено в статье «Расчет криволинейной перемычки», поэтому здесь я приведу только основные формулы:

tg(a/4) = 2H/л (278.1.2)

после этого

а/4 = arctg(2H/L)

R = H/(1 — cos(a/2)) (278.1.3)

Как видите, с математической точки зрения нет никакой проблемы в определении радиуса окружности. Этот метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это основное преимущество данного метода.

Теперь поговорим о минусах.

Проблема этого метода даже не в том, что надо запоминать формулы из успешно забытого много лет назад школьного курса геометрии — чтобы запомнить формулы — это интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и так далее. Не у всех пользователей он есть. И хотя Интернет тоже успешно решает эту задачу, не следует забывать, что мы решаем скорее прикладную задачу. Ими далеко не всегда необходимо определять радиус окружности с точностью до 0,0001 мм, точность в 1 мм может быть вполне приемлемой.

Кроме того, чтобы найти центр окружности, нужно увеличить высоту отрезка и отложить расстояние, равное радиусу этой прямой. Так как на практике мы имеем дело с неидеальными измерительными приборами, то к этому следует добавить любую погрешность в маркировке, то получается, что чем меньше высота отрезка по отношению к длине хорды, тем больше погрешность в определение центра дуги.

Опять же не следует забывать, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е именно так мы сразу назвали кривую дугой. На самом деле это может быть кривая, описываемая довольно сложной математической зависимостью. Поэтому радиус и центр найденной таким образом окружности могут не совпадать с действительным центром.

В связи с этим хотелось бы предложить еще один метод определения радиуса окружности, которым я сам часто пользуюсь, т.к этим методом гораздо быстрее и проще определить радиус окружности, хотя точность гораздо меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак, продолжим с сегодняшней ситуацией.

Так как нам еще нужно найти центр окружности, для начала из точек, соответствующих началу и концу дуги, проводим не менее двух дуг произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг пройдет прямая, где находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Однако если провести из указанных точек не по одной дуге, а по двум, то эта прямая пройдет через пересечение этих дуг, и тогда вовсе не нужно искать центр хорды.

Ну а дальше все просто: измеряем расстояние от пересечения дуг до начала (или конца) текущей дуги, а затем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте отрезка.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте отрезка, то центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямая, проведенная через пересечение дуг и центр хорды. Если меньше, искомый центр дуги находится выше на прямой.

Исходя из этого, берется следующая точка на прямой, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся такие же измерения. Затем берется следующая точка и измерения повторяются. Для каждой новой точки разница в измерениях будет становиться все меньше и меньше.

Вот собственно и все. Несмотря на такое длинное и запутанное описание, определение радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм занимает 1-2 минуты.

Теоретически это выглядит примерно так:

Рисунок 463.2. Определить центр дуги методом последовательных приближений.

А на практике как-то так:

Фото 463.1. Разметка заготовки сложной формы с разными радиусами.

Я просто хочу добавить сюда, что иногда приходится находить и рисовать несколько радиусов, потому что на картинке так много всего намешано.

Это все на данный момент.

Доступ к полной версии этой статьи и ко всем остальным статьям на этом сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница благодарности, адрес электронной почты и продолжение статьи. Если вы хотите задать вопрос о расчете конструкций, пожалуйста, используйте этот адрес. Заранее спасибо.)). Если страница не открывается, скорее всего, вы сделали перевод с другого Яндекс кошелька, но в любом случае волноваться не стоит. Самое главное, при оформлении перевода точно укажите свой email и я свяжусь с вами. Кроме того, вы всегда можете добавить свой комментарий.

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используется специальный прибор — циркуль:

Устанавливаем циркуль на произвольное решение (расстояние между ножками циркуля), и, поставив ножку с острием на какую-либо точку плоскости (например, на лист), начинаем вращать циркуль вокруг этой точки . Вторая нога, снабженная карандашом или грифелем, касаясь плоскости, прочертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки на окружности до центра:

Все радиусы в окружности имеют одинаковую длину, то есть равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше радиуса:

Д = 2р.

Определение дуги сектора круга

Дуга – это отрезок между двумя точками на окружности.

Дуга сектора окружности – это пересечение двух точек на окружности, которое получается в результате пересечения этой окружности с двумя радиусами, образующими сектор окружности.

На рисунке ниже: AB — дуга зеленого сектора окружности радиуса R (или r).

• ОА=ОВ=R(r);
• α — угол сектора или центральный угол.

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) секторной дуги равна числу π, умноженному на радиус окружности (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.

Примечание. В расчете используется π, что примерно равно 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (рад).

Примеры задач

упражнение 1
Дана окружность радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

Задача 2
Длина дуги сектора равна 24 см. Найдите его угол (в радианах и градусах), если радиус окружности равен 12 см.

Решение
Сначала посчитаем угол в радианах:

1 радиан ≈ 57,2958°

Следовательно, центральный угол составляет примерно 114,59 ° (2 рад ⋅ 57,2958°).

Формула расчета радиуса круга

Радиус круга рассчитывается путем решения одного из приведенных ниже уравнений соотношения сегментов круга. Как можно заметить, для нахождения любого параметра требуется пара известных значений. В данном расчете известны значения длины хорды и высоты сегмента, т.е используется формула (1).

R = h/2 + W2/(8 × h) (1)

R = L / φ (2)

R = W / 2 × sin⁡(φ/2) (3)

R = h / 1 — cos(φ/2) (4)

• L — длина дуги сегмента;
• W — длина хорды (основание отрезка окружности);
• φ — угол сегмента окружности;
• h — высота сегмента окружности;
• R — радиус окружности;

Уравнение окружности

1. Уравнение окружности радиусом r с центром в начале декартовой системы координат:

г2 = х2 + у2

2. Уравнение окружности радиусом r с центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

г2 = (х — а)2 + (у — Ь)2

3. Параметрическое уравнение окружности радиусом r с центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

{	х = а + г кос т
y = b + r злой

Касательная окружности и ее свойства

Определение: Касательная к окружности – это прямая линия, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна радиусу окружности, проведенной в точке касания.2. Кратчайшее расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу окружности.

3. Если две касательные с точками касания В и С на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке А, и отрезок между точкой касания и точкой пересечения одной касательной равен отрезку другой касательной:

АВ=АС

Также, если провести линию через центр окружности О и точку пересечения А этих касательных, то углы, образованные между этой линией и касательными, будут равны:

∠ОАС = ∠ОАБ

Секущая окружности и ее свойства

Определение: секущей окружности называется прямая, проходящая через две точки окружности.

Основные свойства секущих

1. Если из точки вне окружности (Q), которая пересекает окружность в двух точках А и В по одной секущей и С и D по другой секущей, выходят две секущие, то произведения отрезков двух секущих равны друг другу:

AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ

2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая, пересекающая окружность в двух точках А и В, и касательная с точкой касания С, то произведение отрезков секущей равно квадрату длина касательного отрезка:

AQ ∙ BQ = CQ2